[科普中國]-環(huán)形折積

環(huán)形折積與線性折積類似，皆是針對兩個函數(shù)的運算子。假設兩個函數(shù)分別為f與g，則折積運算過程即為將其中一個函數(shù)(如f)經(jīng)過翻轉(zhuǎn)后，對于每個位移量，將重疊的部分相乘累加起來(見下文定義)。不同的地方在于環(huán)形折積的位移為環(huán)形位移，而線性折積的位移為平移。折積亦可以視為滑動平移的推廣。

簡介環(huán)形折積與線性折積類似，皆是針對兩個函數(shù)的運算子。假設兩個函數(shù)分別為f與g，則折積運算過程即為將其中一個函數(shù)(如f)經(jīng)過翻轉(zhuǎn)后，對于每個位移量，將重疊的部分相乘累加起來(見下文定義)。不同的地方在于環(huán)形折積的位移為環(huán)形位移，而線性折積的位移為平移。折積亦可以視為滑動平移的推廣。

定義兩個函數(shù)的環(huán)形折積定義為對一個或兩個函數(shù)做周期延伸后之折積運算，而所謂的周期延伸是指原來的函數(shù)平移固定長度的整數(shù)倍再全部加起來所產(chǎn)生的新函數(shù)。x(t)經(jīng)過周期延伸后之函數(shù)可寫成下式:

其中T為周期(即周期延伸中的固定長度)

對x(t)與h(t)計算環(huán)形折積的運算可以下列兩種等價表示式定義:

其中*****表示線性折積運算子

此兩定義的等價關系證明如下:

上述為針對兩個連續(xù)信號(函數(shù))的環(huán)形折積之定義的說明，類似的，我們對于周期為N的離散信號之環(huán)形折積有如下的定義:

離散信號的環(huán)形折積可以結(jié)合快速傅立葉變換與折積理論做相當有效率的計算，然而，在實際上信號處理或系統(tǒng)理論的應用，線性折積運算較常被考慮也較有物理意義，于是，如果可將一個線性折積的計算問題轉(zhuǎn)化為求算環(huán)形折積，則一般當兩個輸入信號長度相距不遠時，往往計算量可以大為減少，增加了計算線性折積的效率，至于線性折積與環(huán)形折積的關系以及如何利用環(huán)形折積與傅立葉變換求得線性折積結(jié)果。1

區(qū)塊折積當計算折積之兩信號長度相差很大時，利用快速傅立葉變換計算折積是較沒有效率的，此時較有效率的方法是將較長的信號切成一段段的區(qū)塊，以此每一區(qū)塊對另一輸入信號進行折積再合并，常見的區(qū)塊折積方法包括重疊-相加之折積法與重疊-儲存之折積法，針對長度的不同，區(qū)塊長度的選取亦會影響計算的效率。1

相關條目折積

離散傅立葉變換

區(qū)塊折積

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

李嘉騫 - 博士 - 同濟大學