[科普中國]-科羅夫金定理

科羅夫金定理是正線性算子序列逼近的基本定理。20世紀(jì)50年代，由科羅夫金建立。

簡介科羅夫金定理是正線性算子序列逼近的基本定理。

20世紀(jì)50年代，科羅夫金建立了如下的定理：設(shè) 是C[a,b]到C[a,b]的正線性算子序列， 是[a,b]上的一個切比雪夫組。如果n→∞時，Ln(f,x)在[a,b]上一致收斂于fi(x)(i=0,1,2)，則對于任何f∈C[a,b]，當(dāng)n→∞時，Ln(f,x)都在[a,b]上一致收斂于f(x)，常稱這個定理為科羅夫金定理。又稱這三個函數(shù)f0(x),f1(x)和f2(x)為試驗(yàn)函數(shù)。

適用條件對于函數(shù)空間C[a,b]，常取fi(x)=xi(i=0,1,2)，而對于函數(shù)空間C2π，常取f0(x)=1，f1(x)=cos x，f2(x)=sin x。

在科羅夫金定理中， 構(gòu)成一個切比雪夫組這個條件是必要的。因?yàn)榭屏_夫金還證明了如下的結(jié)論：設(shè)fi∈C[a,b](i=0,1,2)，如果對于每個C[a,b]到C[a,b]的正線性算子序列 ，從n→∞時Ln(fi,x)(i=0,1,2)在[a,b]上一致收斂就能推出，對任何f∈C[a,b]都有n→∞時Ln(f,x)在[a,b]上一致收于f(x)，則 一定是切比雪夫組。

正線性算子逼近正線性算子逼近是一類常用的逼近。

設(shè)f∈C[a,b]，如果對一切x∈[a,b]都有f(x)≥0則記f≥0。設(shè)L是C[a,b]到C[c,d]的線性算子，[c,d]?[a,b]，如果對f≥0有L(f)≥0，則稱L為正線性算子。

此時用L(f,x)在[c,d]上逼近f(x)稱為正線性算子逼近。1

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

李嘉騫 - 博士 - 同濟(jì)大學(xué)