[科普中國(guó)]-完備系

完備系（complete system）是具有某種完備性質(zhì)的函數(shù)系。函數(shù)系為完備系的充分必要條件是：任意一個(gè)平方可積函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)均值收斂于它本身。例如：定義在[-π，π]上的基本三角函數(shù)系是完備系。1

定義設(shè)有函數(shù)系

如果對(duì)于任意一個(gè)平方可積函數(shù)，其按函數(shù)系（1）式展開(kāi)的傅里葉級(jí)數(shù)為，如果總能使貝塞爾不等式中的等號(hào)成立，即

則稱(chēng)此函數(shù)系（1）為完備系，（2）式稱(chēng)為此函數(shù)系的完備條件，也稱(chēng)為帕色伐等式。2

舉例定義在上的基本三角函數(shù)系

是完備系。2

重要定理對(duì)于完備系，可以得到以下重要推論。2

定理1 如果函數(shù)系（1）是完備系，則不會(huì)有不恒為零且與此函數(shù)系中所有函數(shù)正交的連續(xù)函數(shù)存在。

注 順便提及，有一些書(shū)中把本定理的結(jié)論作為完備系的定義，而把等式（2）式稱(chēng)為封閉方程。

定理2 設(shè)和都是平方可積函數(shù)，其按函數(shù)系（1）式展開(kāi)的傅里葉級(jí)數(shù)分別為和，若已知函數(shù)系（1）是完備系，則有

定理3函數(shù)系（1）為完備系的充分必要條件：對(duì)任意一個(gè)平方可積函數(shù)，下列等式成立：

注 本定理可以敘述為：函數(shù)系（1）為完備系的充分必要條件是：任意一個(gè)平方可積函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)均值收斂于它本身。

判斷準(zhǔn)則完備系的判斷準(zhǔn)則：如果對(duì)于在上連續(xù)的一切函數(shù)，對(duì)任意的，都存在多項(xiàng)式

使

成立，則系（1）是完備的。2

事件的完備性假定我們有這樣的（任意數(shù)）個(gè)事件，在每個(gè)單一作業(yè)中必定出現(xiàn)這些事件中的一個(gè)，而且只有一個(gè)，我們商定這樣一組事件叫做完備系。很顯然，任何一對(duì)對(duì)立事件都會(huì)構(gòu)成完備系。

注：構(gòu)成完備系的事件的概率之和為1.1

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

李嘉騫 - 博士 - 同濟(jì)大學(xué)