[科普中國]-雅可比條件

雅可比條件是由附屬變分問題的歐拉-拉格朗日方程導(dǎo)出的一個取弱極值的光滑函數(shù)滿足的必要條件。

簡介雅可比條件是由附屬變分問題的歐拉-拉格朗日方程導(dǎo)出的一個取弱極值的光滑函數(shù)滿足的必要條件。

雅可比條件是勒讓德條件發(fā)現(xiàn)50余年后，雅可比在1838年的一篇文章中提出的。

具體內(nèi)容對于泛函

的極值函數(shù) ，附屬變分問題的極值函數(shù)滿足雅可比方程

其中

而下式

稱為雅可比算子。

推廣對一般拉格朗日函數(shù)F(x,z,p)，雅可比算子是

或分量寫出

中的變量是：

若 是雅可比方程 (1)在 上的一個解， ，在 上的一個解，則稱 x2是 x0 點一個共軛值，而點 的一個共軛點；如果 上不存在x0的共軛值，則稱 滿足強(qiáng)雅可比條件。

應(yīng)用共軛點的幾何意義：設(shè)平穩(wěn)曲線 過點 A 和點B ，從 A 出發(fā)的中心平穩(wěn)曲線場y=(x,c)的包絡(luò)與曲線的切點A*即是 A 的共軛點。為驗證x2是否為共軛值需要求雅可比方程的通解，雅可比方程既然為線性齊次方程，為求其通解，只需求兩個線性無關(guān)即可，關(guān)于雅可比方程的解，有下列結(jié)果：

1、x0的共軛值不依賴于雅可比方程的解

2、若 y(x)是泛函

的歐拉-拉格朗日方程的通解，，又參數(shù)α*和β*使下列邊界條件滿足：

則

是雅可比方程的兩個線性無關(guān)解。

如果光滑函數(shù)使泛函

在上取極?。ɑ驑O大），又設(shè)沿滿足嚴(yán)格勒讓德條件

(對于極大，不等式(2)反向），則不存在x0的共軛值x2