[科普中國(guó)]-艾克蘭德變分原理

艾克蘭德變分原理是關(guān)于完備度量空間上的有下界的下半連續(xù)泛函的近似極小點(diǎn)的存在性定理，由艾克蘭德(Ekeland,I.)于1974年得到。

簡(jiǎn)介艾克蘭德變分原理是關(guān)于完備度量空間上的有下界的下半連續(xù)泛函的近似極小點(diǎn)的存在性定理。此定理由艾克蘭德(Ekeland,I.)于1974年得到。

設(shè)(X,p)是完備度量空間，f:X→R∪{+∞}下半連續(xù)有下界，且f?+∞。設(shè)有ε>0及xε∈X使得 則存在點(diǎn)yε∈X，使得f(yε)≤f(xε)，ρ(yε,xε)≤1且f(x)>f(yε)-ερ(yε,x)(?x≠yε)。

推廣艾克蘭德變分原理中的點(diǎn)yε稱為f的近似極小點(diǎn)。

當(dāng)X是完備的芬斯勒流形且f∈C1時(shí)，在點(diǎn)yε處有||df(yε)||≤ε。1

泛函簡(jiǎn)單的說(shuō)， 泛函就是定義域是一個(gè)函數(shù)集，而值域是實(shí)數(shù)集或者實(shí)數(shù)集的一個(gè)子集，推廣開來(lái)， 泛函就是從任意的向量空間到標(biāo)量的映射。也就是說(shuō)，它是從函數(shù)空間到數(shù)域的映射。

設(shè){y}是給定的函數(shù)集，如果對(duì)于這個(gè)函數(shù)集中任一函數(shù)y(x) 恒有某個(gè)確定的數(shù)與之對(duì)應(yīng)，記為П(y(x))，則П(y(x))是定義于集合{y(x)}上的一個(gè)泛函。

泛函定義域內(nèi)的函數(shù)為可取函數(shù)或容許函數(shù)， y(x) 稱為泛函П的變量函數(shù)。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尹維龍 - 副教授 - 哈爾濱工業(yè)大學(xué)