[科普中國]-線性二次型最優(yōu)控制

使用二次型性能指標的線性系統(tǒng)最優(yōu)控制。

定義使用二次型性能指標的線性系統(tǒng)最優(yōu)控制。它可得到狀態(tài)線性反饋的最優(yōu)控制規(guī)律，便于實現(xiàn)閉環(huán)最優(yōu)控制，是應(yīng)用廣泛的最優(yōu)控制方式。

性能指標線性系統(tǒng)狀態(tài)方程及輸出方程為

x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) (1)

y(t)=C(t)x(t) (2)

式中x(t)為n維狀態(tài)向量;u(t)為p維控制向量;y(t)為q維輸出向量。設(shè)z(t)為理想輸出向量，與y(t)同維數(shù)，并定義

e(t)=z(t)-y(t) (3)

誤差向量。線性二次型最優(yōu)控制問題的性能指標為

這里，權(quán)函數(shù)F、Q(t)為正半定矩陣，R(t)為正定矩陣。假設(shè)tf固定。要求尋找最優(yōu)控制u*(t)，使性能指標J為最小。被積函數(shù)的第一項表明誤差e(t)的大小，是非負的。其第二項表明控制功率的大小，對應(yīng)于u≠0它恒為正。因此，對u(t)往往不需再加約束，而常設(shè)u(t)為自由的。性能指標的第一項則表示終值誤差。

狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題系統(tǒng)狀態(tài)方程如式 (1)所示，u(t)不受約束，tf固定，性能指標為

尋找最優(yōu)控制u*(t)，使性能指標J為最小。

用極小值原理或動態(tài)規(guī)劃法，可得下列矩陣黎卡提微分方程(一階非線性微分方程)

P(t)=-P(t)A(t)-AT(t)P(t)+P(t)B(t)R-1(t)BT(t)P(t)-Q(t) (6)

其邊界條件為

P(tf)=F (7)

由式(6)解出P(t)后，可得最優(yōu)控制規(guī)律為

u*(t)=-R-1(t)BT(t)P(t)x*(t) (8)

由式(8)可以看出，最優(yōu)控制規(guī)律是一個狀態(tài)線性反饋規(guī)律，控制向量u*(t)由狀態(tài)向量x*(t)生成，構(gòu)成狀態(tài)反饋，并且呈線性關(guān)系。這樣，能方便地實現(xiàn)閉環(huán)最優(yōu)控制，這一點在工程上具有十分重要的意義。

P(t)是一對稱矩陣，一般都要由計算機求出方程(6)的數(shù)值解。P(t)是時間函數(shù)，即使線性系統(tǒng)是定常的，為了實現(xiàn)最優(yōu)控制，反饋增益應(yīng)該是時變的，而不是常值反饋增益。這一點與經(jīng)典控制方法的結(jié)論有本質(zhì)的差別。1

可以求得性能指標的最小值為

tf=∞時的狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題 定常系統(tǒng)方程為

x(t)=Ax(t)+Bu(t) (10)

這里，A、B為常值矩陣，u(t)不受約束，性能指標為

Q、R為常值矩陣，Q為正半定的，R為正定的。求最優(yōu)控制u*(t)，使性能指標J為最小。

對于這樣的系統(tǒng)，有(t)=0情況下的矩陣黎卡提方程

上式是矩陣黎卡提代數(shù)方程，它是非線性方程。求解該方程，可得最優(yōu)控制為

性能指標的最小值也由式(9)求得。

輸出調(diào)節(jié)器問題 系統(tǒng)動態(tài)方程為式(1)、(2)，u(t)不受約束，tf固定，性能指標為

式中F和Q(t)為正半定矩陣;R(t)為正定矩陣。求最優(yōu)控制u*(t)，使性能指標J為最小。

可將這類問題轉(zhuǎn)化成等效的狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題，得：當且僅當系統(tǒng)完全可觀測時，存在唯一的最優(yōu)控制

其中，P(t)滿足下列矩陣黎卡提方程

最優(yōu)控制規(guī)律輸出調(diào)節(jié)器的最優(yōu)控制規(guī)律，并不是輸出量y(t)的線性反饋，而仍是狀態(tài)x(t)的線性反饋。僅由輸出反饋時，沒有充分利用全部信息，不能構(gòu)成最優(yōu)控制。2

完全可控、可觀測的定常系統(tǒng)，tf=∞時的輸出調(diào)節(jié)器問題，其最優(yōu)控制存在并且是唯一的

P為下列矩陣黎卡提代數(shù)方程的解

跟蹤問題系統(tǒng)動態(tài)方程為式(1)、(2)，x(t0)=x0，系統(tǒng)完全可觀測，理想輸出為z(t)，誤差向量為式(3)，性能指標為式(4)，u(t)不受約束，tf固定，求最優(yōu)控制u*(t)，使性能指標J為最小。

用極小值原理來求解，并設(shè)

λ*(t)=P(t)x*(t)-g(t) (20)

可寫出形如式(16)的黎卡提方程以及下式

其邊界條件為

從而得最優(yōu)控制規(guī)律

對于線性定常系統(tǒng)，當理想輸出z(t)為常值、終端時刻tf極大但不為無窮大時，可以導(dǎo)出一個近似的最優(yōu)控制規(guī)律如下，它具有很大的實用意義。

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程如式(10)所示，x(t0)=x0，輸出方程y(t)=Cx(t)，系統(tǒng)完全可控并完全可觀測，理想輸出z(t)=z0，tf足夠大，性能指標為

則其最優(yōu)控制存在并唯一，為

其中P和g依次滿足下列兩式

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

曹慧慧 - 副教授 - 中國礦業(yè)大學(xué)